Предмет: Техническая механика.

 

Дата: 31.03.2022

Кол-во час: 4 ч

 

ЧТО СДЕЛАТЬ:

1.Переписать конспекты в тетрадь полностью, без сокращений (то, что написано курсивом, НЕ записывать, а только прочитать).

2.Рисунки перечертить, все формулы записать.

 

Тема: Устойчивость сжатых стержней.

 

1.Понятие о равновесии.

Рис.1

      Относительно короткие и массивные стержни рассчитывают на сжатие, т. к. они выходят из строя в результате разрушения или остаточных деформаций.     

    Длинные стержни небольшого поперечного сечения под действием сжимающей силы изгибаются и теряют равновесие. Такие стержни работают на изгиб и сжатие.     

     Равновесие считают устойчивым, если за счет сил упругости после снятия внешней сжимающей силы стержень восстановит первоначальную форму (рис.1).

     Если упругое тело после отклонения от равновесного положения не возвращается к исходному состоянию, то говорят, что произошла потеря устойчивости, а равновесие было неустойчивым. Потерю устойчивости под действием приложенной сжимающей силы называют продольным изгибом.

     На устойчивость равновесия влияет величина сжимающей силы. Наибольшее значение сжимающей силы, при которой прямолинейная форма стержня сохраняет устойчивость, называют критической силой.

     Смысл расчета на устойчивость сжатого стержня заключается в том, чтобы он при некотором значении F осевой нагрузки сохранял устойчивость прямолинейной формы и обладал при этом некоторым запасом устойчивости, то есть заключается в определении допускаемой сжимающей силы и в сравнении с ней силы, действующей:

sу=Fкр/F

sу=Fкр/F≥[sу]

найдем:

[F]=Fкр/[sу]     FFкр/[sу]

 

где: F – действующая сжимающая сила;

       [F] – допускаемая сжимающая сила;

       Fкр – критическая сила;

       [sу] – допускаемый коэффициент запаса устойчивости;

       sу – коэффициент запаса устойчивости.

     Чтобы воспользоваться этими расчетными формулами при проверке устойчивости сжатого стержня или определении допускаемой нагрузки, необходимо уметь определять значение критической силы Fкр.

 

2.Способы определения критической силы.

 

         Для шарнирно закрепленного с обоих концов стержня (рис. 2) формула Эйлера имеет вид:

Fкр=(π2EJmin)/Ɩ2

где: Е – модуль упругости;

        Jmin – минимальный осевой момент инерции стержня (Jx или Jy);

        Ɩ – длина стержня.

 


Рис.2

    Формулу распространили на другие формы закрепления стержней. Длина стержня заменяется ее приведенным значением, учитывающим форму потери устойчивости в каждом случае: Ɩпр=Ɩµ, где µ — коэффициент приведения длины, зависящий от способа закрепления стержня (то есть число, показывающее, во сколько раз следует увеличить длину шарнирно закрепленного с обоих концов стержня, чтобы критическая сила для него была равна критической силе стержня в данных условиях закрепления).

Формула для расчета критической силы для всех случаев:

                             Fкр=(π2EJmin)/(µƖ)2

 

Случаи закрепления стержня (рис.3):


рис.3

а) оба конца шарнирно закреплены;

б) один конец жестко закреплен, другой свободен;

в) один конец закреплен шарнирно, второй имеет «плавающую» заделку;

г) один конец заделан жестко, второй имеет «плавающую» заделку;

д) оба конца заделаны жестко;

е) один конец заделан жестко, другой закреплен шарнирно.

 

или:

 

         Нормальные напряжения, соответствующие критической силе, называются критическими и определяются по формуле:

ϭкр=Fкр

или:

ϭкр=(π2EJmin)/(µƖ)2А

 

    Корень квадратный из отношения минимального момента инерции сечения к площади поперечного сечения (А) принято называть минимальным радиусом инерции imin.

                                  imin =√Jmin/A   или   i2min =Jmin/A

    Тогда формула для расчета критического напряжения перепишется в виде:

ϭкр=(π2Ei2min)/(µƖ)2

Отношение µƖ/imin носит название гибкости стержня λ.    

    Гибкость стержня — величина безразмерная, чем больше гибкость, тем меньше напряжение:

λ=µƖ/ imin

 

ϭкр2Е/λ2

    Она характеризует сопротивляемость стержня потере устойчивости; с увеличением гибкости уменьшается сопротивляемость стержня потере устойчивости. Заметим, что гибкость стержня не зависит от материала стержня, а определяется его длиной, формой и размерами сечения.

     Формула Эйлера выполняется только в пределах упругих деформаций.

    Таким образом, критическое напряжение должно быть меньше предела упругости материала.

     Предел упругости при расчетах можно заменять пределом пропорциональности.

Таким образом, ϭкр≤ϭу≈ϭпц,

где ϭу предел упругости;

      ϭпц — предел пропорциональности материала;

ϭкр=(π2Е)/λ2≤ ϭпц

 

Откуда гибкость стержня:

λ≥√(π2Е)/ϭпц

 

Предельная гибкость (стоящая в правой части неравенства постоянная для данного материала безразмерная величина называется предельной гибкостью):

λпред=√(π2Е)/ϭпц

 

Предельная гибкость зависит от материала стержня.

    Таким образом, применимость формулы Эйлера определяется условием λ≥λпред.

  

   Критическое напряжение определяется по формуле:

ϭкр=а-bλ

 

где a и b— коэффициенты, зависящие от материала; их значения представлены в таблице.

 

Тема: «Расчеты на устойчивость»

 

Порядок выполнения расчета на устойчивость:

1.Получение сведений о материале стержня для определения предельной гибкости стержня расчетным путем или по таблице:

λпред=√(π2Е)/ϭпц

 

2.Получение сведений о геометрических размерах поперечного сечения, длине и способах закрепления концов для определения категории стержня в зависимости от гибкости:

imin =√Jmin/A

где: А – площадь сечения;

       Jmin  - минимальный момент инерции (из осевых).

λ= µƖ/ imin

где µ - коэффициент приведенной длины.

 

3. Выбор расчетных формул для определения критической силы и критического напряжения.

При λ0≤λ˂λпред (стержни средней гибкости)— расчет по формуле Ясинского (ϭкр=а-bλ).

   При λ≥λпред (стержни большой гибкости)– расчет по формуле Эйлера (ϭкр=(π2Е)/λ2).

 

4. Проверка и обеспечение устойчивости.

При расчете по формуле Эйлера условие устойчивости:

 

Fкр=(π2EJmin)/(µƖ)2        FFкр/[sу]

 

где: F – действующая сжимающая сила;

       [sу] – допускаемый коэффициент запаса устойчивости;

 

     При расчете по формуле Ясинского ϭкр=а-bλ, (где a и b— коэффициенты, зависящие от материала) условие устойчивости:

Fкр=ϭкрA         FFкр/[sу]

 

    В случае невыполнения условий устойчивости необходимо увеличить площадь поперечного сечения.

      Иногда необходимо определить запас устойчивости при заданном нагружении:

sy=Fкр/F

     При проверке устойчивости сравнивают расчетный запас выносливости с допускаемым:

sy≤[sy]